校本选修——找规律专题1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第 次后可拉出64根细面条。第一次捏合 第二次捏合 第三次…
目 录 第一章 总则 第二章 员工招聘与培训教育 第三章 劳动合同管理 第四章 工作时间与休息休假 第五章 工资福利与社会保险 第六章 劳动安全卫生与劳动 第七章 劳动纪律与员工守则 第八章 励与惩罚 第九章 保密制度与竞业 第十章 附则 …
社区党委工作报告 尊敬的各位领导、各位、居民朋友们：大家下午好！首先我代表社区党委，向长期关心社区建设的各位领导和同志们表示最衷心的感谢！下面就社区党委工作和个人履职情况向大会报告，敬请评议。去年以来，社区党委以深入学习实践科学发展观为契机，扎实…
运用TI图形计算器探究变量间的相关关系
惠州市第一中学 廖伟君
新课程标准提倡教师在数学教学中应用信息技术辅助教学，也鼓励学生利用信息技术学习数学。学生适当利用信息技术，更能使他们在学习方式上从 “被动学数学”转变为“主动做数学”。由此产生了时髦的话题——数学实验。TI图形计算器就是支持数学实验进行数学探究活动的强有力工具。以下就以探究“变量间的相关性”来说明。
[1]3第二章统计第3节的内容，变量间的相关性是高中数学课程标准数学○本内容主要包
括通过对一些典型案例（（学生收集的数据）或（人体脂肪含量百分比与年龄关系，小卖部卖出的热饮杯数与气温关系，鸟的种类与海拔高度关系））的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题。
在平时教学中，传统的做法是：先根据例题给出的数据作出散点图，观察散点图并根据散点图的变化趋势猜测回归方程的一般形式，然后用待定系数法、最小二乘法等方法算出回归方程的系数，得到回归方程。最后根据回归方程进行预测。对这一过程学生接受是不难的，但整个过程将花费大量的时间在计算回归方程的系数上，尤其是最小二乘法。但在回归分析中，最有价值的是函数模型的建立，并不是计算。复杂的计算可以由辅助工具去完成，我们把精力放在散点图的分析、函数模型的建立和利用模型进行合理的预测上。
下面用教材[1]为例通过TI图形计算器的数据分析功能阐明变量间的相关性。 题目：下表给出了某些地区的鸟的种类数与这些地区的海拔高度（m）。分析这些数据，看一看鸟的种类数与海拔高度是否有关。 地区
种类数
海拔457用TI图形计算器进行数据分析过程如下：
1. 先将数据输入表格中
2. 建立散点图
3. 作出散点图（右图为相应的Window设置）
4.
分析散点图，可以看出点分布在一带形区域内， 因此可以采用线性函数y=ax+b
作为模型，然后用回归方式求回归方程。
5. 得到的回归直线为：
6. 7.
由图象和相关系数都可以看出，两个变量存在线性相关的关系。
现在，我们需要考虑有无其它的回归模型使其具有更强的相关性？或者是寻找一函数图象，使得各散点到图象的距离和更小。此外，在运用模型进行预测时，也出现了问题。因为根据回归直线的单调性判断，海拔越高鸟的种数也越多，这样似乎不符合现实的规律。极端的想法就是海拔8844m的珠穆朗玛峰是不可能有鸟存在的。因此我们要继续根据散点图的特征来寻找另外的函数模型以便使回归模型具有更强的相关性和能近似地反映现实规律，使得运用函数模型进行预测时更具有力。
8. 从散点图中可以看到，数据有些极大和极小值存在，也就意味着拟合的曲线是有拐点的曲线，且拐点至少两个，也就意味着选择的拟合函数模型自变量的幂指数必须是三次或三次以上。
运用三次回归的操作过程如下：
9. 对比两次的回归分析过程，
从回归的相关指数及回归函数的图象与散点图的吻合程度都可以看出，三次回归比线性回归要好得多。
综上数据分析过程可以看出，中间没有繁琐的数算，只有分析和结论以及对结论的合理解释。这就是数学源于现实生活，又应用于现实生活的。学生学习的目的应该是培养创造能力，必要的计算能力学生是必须掌握，但长期处于重复而又繁琐的计算当中，势必导致学生对数学学习兴趣的减弱，学生创造能力的发展。因此，适当鼓励学生利用TI图形计算器辅助学习，对学生的学习将有全方位的带动作用。
参考文献
3（必修）A版，：人民教育出版社，2004，5 [1]普通高中课程标准实验教科书·数学○
[2]中华人民国教育部制定，普通高中数学课程标准（实验），：人民教育出版社，2003，4（第一版）
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对一节古典概型教学课例的思考
惠州市第一中学 刘宏英
概率和统计是现代数学的重要分支，在生活中的应用越来越广泛，如我们熟知的天气预报,彩票中等都涉及到概率知识。在中学教育中已经成为高中课程中的重要组成部分，且又有所增强。由于它与在数学中长期占地位的确定性数学有很大的不同，教师普遍感到难教，学生感到难学。
新课标《普通高中数学课程标准》（实验）中对古典概型的教学要求是“应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，应让学生初步把一些实际问题化为古典概型，教学不要把重点放在‘如何记数’上。”
为了更好的上好这部分的内容，让学生理解概率的意义，实现新课标的教学目的，我进入了一位高一教师的课堂进行教学研究。这节课是概率的第一节课，使用的教材是普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修（3），下面是这节课的主要教学片段：
一、教学过程
教师先引导学生复习“必然事件”、“不可件”和“随机事件”的定义和特点以及概率的定义，然后设置疑问“不是每次都有条件去做大量重复的实验，如果实验次数太少，频率与概率之间就会有很大的偏差，那么有没有什么方法既简便易行又能准确地计算出随机事件发生的概率呢？”引入新课。
师：我们再来看看上节课讲的掷硬币和掷骰子的问题，一起分析一次实验中可能出现的结果。
问题1：掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有哪几种？
问题2：掷一个骰子，落地时向上的数可能有哪几种？
生：掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果两种：正面向上和向上；
掷一个骰子，落地时向上的数可能有6种：1，2，3，4，5，6
师：大家再想一想下面两个问题的答案，并讲一讲得到答案的根据。
问题3：掷一枚均匀的硬币，出现“正面向上”的概率是多少？“向上” 的
概率是多少？
问题4：掷一个骰子，落地时向上的数为1的概率是多少？出现其它数的概率呢？ 生：掷一枚硬币，出现“正面向上”和“向上” 的可能性是一样的，所以概率都是
率都是11；同理掷一个骰子，落地时向上的数为1的概率，每个数出现的概261。 6
师：哦，大家有一个共同的观点“每种结果出现的可能性是一样的”，这一点对我们今天的学习是很重要的！大家再看看这两个结果有什么特点？
生：与上节讲的大量重复实验的结果是一致的！
师：这就是我们今天要学的内容——通过对一次实验中可能出现的结果的分析来计算其概率，即“随机事件的概率”。
师：我们先来看一个概念，一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为“基本事件”，如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且出现的可能性都相等，那1，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件n
mmA 发生的概率为，记作p(A)=。这个结论有什么用？ nn么每一个基本事件的概率都是
生：如果要计算事件A的概率，只需要做一次实验，求出实验结果的总数，再求出事件A所包含的结果的总数，一比就是事件A的概率。
师：这样比做成千上万次实验容易多了！这个方法虽好，但是不是可以用来计算我们遇到的所有的概率问题呢？
生：不行，实验中每个结果出现的可能性必须相等。
师：对，这是用这种方法求概率的关键！下面有三个问题让同学们来解决，写出你解题的根据和过程。
问题1、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同的号码的3个黑球，从中摸出2个球。
（1）共有多少种不同的结果？
（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？
（3）摸出2个黑球的概率是多少？
师：由条件知道3个黑球编有不同的号码，我
们不妨设黑球编号为1，2，3，结合题意画出图例来分析问题，这样做可以防止重复和遗漏。
生：（1）根据题意，摸出的2个球的结果有：，共有6种不同的结果： （白，黑1），（白，黑2），（白，黑3），（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3）
（2）由（1）可知摸出2个黑球有3种不同的结果。
（3）因为每个球被摸出的可能性相等，所以摸出2个黑球的概率是31=。 62
问题2、将骰子先后抛掷2次，计算：其中落地时向上的数之和是5的概率是多少？
师：怎样简洁地表示掷2次骰子，落地时向上的结果呢？
生：用一对数来表示，一个代表第一次落地时向上的数，另一个代表第二次落地时向上的数。师：这个想法和我们所学的点的坐标表示有点象，用（x,y）表示先后抛掷2次骰子落地时向上的数，大家写一写得到的结果有那些？
师：除了这种表示方法，还有其他的表示方法吗？这道题主要是知道落地时向上的数字的和，我们还可以尝试用表格。比如：
生：先后抛掷2次骰子落地时向上的数出现的情况有
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1）（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共36种，其中向上的数之和是5的结果有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，
1），共4种，因为每种结果出现的可能性相等，所以向上的数之和是5的概率是41=。 369
生：先后抛掷2次骰子落地时向上的数出现的情况如下表所示：
师：在图中随机撒一粒豆子，有多少种情况呢？
生：两种，落入圆内，或者落入圆外正方形内。
师：那落在圆中的概率是不是为1呢？ 2
生：不对，圆内与圆外的面积不同，所以落在圆中的概率就是圆与正方形的面积之比。
师：太好了！大家计算以下结果。
……
二、对教学过程的一些思考
这位教师的课例给我们提供了一个很好学习和研究的案例，学过程我们看到了几个特点：
（1）应用学生熟悉的丰富实例----摸球、掷骰子、撒豆子作为知识的载体，来分析了几种随机事件的概率问题，融抽象知识于简单游戏之中，体现了新课标“强调对随机现象的认识”的要求，抓住了教学的关键。
（2）营造应用实践空间，注意对数学模型意识的培养。古典概率是一类数学模型,并非是现实生活的确切描述.在古典概率的问题中,关键是要给出正确的模型，教学中由浅入深、一题多解，体现的恰是多个模型。让学生能看到概率的大小,根据实际问题体会其意义。
（3）概率问题多为应用题,解题过程中的文字表述、题意的准确理解是一个关键问题,教师把握住了这个教学中的重点问题。例题的以学生自主探索为主，由学生表达解决问题的思，由学生板书解题过程，训练学生用语言、文字以及数学符号表达思维的能力，而且整个教学过程反映出教师引导学生向新课标的学习方式的转变。
（4）注意了数与形的沟通，发扬我国传统教育的优点。每一个代数问题都应该有其几何背景,借助几何知识我们可以更加直观地解决概率中的问题。三道例题都选择了恰当的图形表述问题情境，是一种很好的尝试。尤其是例3这样一个几何概型问题就是一个很好的补充。
从课后与师生的交流我也发现了教学中的一些不足，笔者给出一些：
（1）由于生活经验不够丰富，学生对实践结果的“等可能”与“非等可能”分辨不清，只是听老师讲等可能就是等可能，而自己进行分析的时候经常出错，
而这一点关系到解决问题的方法的正确选择，在教学中通过多种实例进行，提高学生的分辨能力。
（2）过去中学的概率课,把重点放在用排列组合计算古典概率上,而忽略了对概率本身的理解，学生学完后,并不能很好地认识周围发生的随机现象。由于教育的继承性，尽师主观上非常想按新课标的要求进行实践，但从观察来看，新要求的贯彻还不够明显，培养学生的解题能力仍占上风，这一点的转变是课改中最难的部分。从这节课来看，这个问题仍然突出。教师力图让学生探索，但实践上还是难免在把主要精力放在了提高学生的解题能力上，看来要达到课标的要求只能增加更多时间循序渐进地进行渗透。
（3）概率是一种不确定的数学，教学对概率的实际意义分析得不够。3个问题在解决完毕之后，对计算的结果给出解释，加深“概率是一种不确定的数学”的观念。要想学好概率，必须有良好的随机性思维，而随机性思维是合情推理与逻辑推理的综合，以往我们都强调逻辑思维，而在概率部分要特别注意联系实际，进行合情推理。
教学方式与学习方式的转变是一个长期的过程，需要师生双方的共同努力，我们相信只要多积累，多总结，多交流，都可以得到改善，使数学更好地为我们的学习和生活服务。
参考文献：
1．中华人民国教育部制定，《普通高中数学课程标准》（实验），人民教育出版社，2003年
2．人民教育出版社，课程研究所编著，《普通高中课程标准实验教科书•数学3》（必修），人民教育出版社，2004年
3．人民教育出版社中学数学室编著，《全日制普通高级中学教科书•数学》第三册（选修Ⅱ），人民教育出版社，2004年
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当“成长记录”遇到“数学”时……
——成长记录在新课标数学教育评价中的应用
惠州一中 郭慧敏
“新课标”已经不是陌生的概念，“新课标”随着社会与教育的发展突现出前所未有的重要地位，随之革新的教育评价自然成为了研讨的热点，“成长记录”由此孕育而生！那“成长记录”到底是什么，仅仅是学生的德育档案吗？当“成长记录”遇到课改中最难啃的“大骨头”——数学时，又会碰撞出怎样的火花和效应呢？本文将聚焦于此，论一论：当“成长记录”遇到“数学”时……
一、对“成长记录”的认识
成长记录，在我国的教育评价中是一个新生的事物，广大的师生和教育工作者对其仍缺乏认识和了解，那究竟成长记录由何而来？有何特征？现行实践中有何问题矛盾存在？
●“成长记录”的由来及在我国的发展过程
成长记录袋，英文单词是portfolio，来源于意大利语portafoglio，有些成长 记录袋在设计与应用上有文件夹、公事包或代表作选辑等多重含义，我国有人将其译为档案袋、学习档案、档案录或成长记录。
最初使用成长记录袋这种形式的是画家及后来的摄影家，他们把自己有代表性的作品汇集起来，向预期的委托人展示。它所选择或提交的东西，是由出示档案袋的人自己创作的，把这种做法用到教育上，成长记录也就成了汇集学生作品 的样本，但收集它们目的内容，是为了展示学生的学习和进步状况，成长记录袋在国外教育的应用已有10多年的历史。
而在我国，成长记录的产生则是源于教育评价的变革。
学生的学习评价是教育评价中较为重要的一项，它体现了学生学习过程各种能力的发展和效果。但现在普遍存在的传统学习评价却存在着多种弊端，如：评价目标狭窄，评价内容片面，评价方式单一，评价主体固定，评价作用有限等等。
针对于此，在《标准》的明确下，便提出了“动态评价”的理论。 什么是动态评价？动态评价即是建立在学生动态性学习基础上的一种确定“以人为本”的教育思想，着眼于人的可持续发展、全面发展；促进学生主动进取，培养学生的创新意识和多元智能；引导教师变分数竞争为培养学生全面素质和能力竞争；充分发挥教育评价的功能和作用，提高学校整体教学质量和办学效益的具有现代教育特色、科学地全面评价学生的评价体系。
“成长记录”便是“动态评价”的实际操作手段和工具。
●成长记录的功能、特征
“成长记录”评价具有反馈调节、展示激励、反思总结、记录成长、积极导向等多项功能。其评定的主要特征有：
1． 成长记录评价主体的互动化
在成长记录中，可以让学生开展自评和互评，甚至可以让家长和社区有关人 员参与评价过程，而不仅仅局限于教师对学生的评价。评价方式多种多样，既可用书面考试、口试、活动报告等方式，也可用课堂观察、课后、作业分析等方式。
2． 成长记录评价内容的多元化
成长记录中评价的内容不是单一的分数或等级评价，而是多元化体现，包括：
1）对学生学习过程的评价
在评价学习的过程时，要关注学生的参与程度，合作交流的意识与情感、态度的发展。同时，也要重视考察学生的思维过程。
2）对学生的基础知识和基本技能的评价
对基础知识和基本技能的评价，可遵循《标准》的基本，允许一部分学 生经过一段时间的努力，随着知识与技能的积累逐步达到。这种“推迟判断”能让部分学习有困难的学生看到自己的进步，感受到获得成功的喜悦，从而激发新的学习动力。
3）对学生发现问题，解决问题能力的评价
对学生发现问题、解决问题的能力可以从包括以下方面：能否从现实生活中 发现和提出问题；能否探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法；能否与他人合作；能否表达解决问题的过程，并尝试解释所得结果；是否具有回顾与分析解决问题过程的意识。
3． 成长记录评价结果的多样化
在呈现评价结果时，采用定性与定量相结合，以定性描述为主的方式。定量评价可采用等级制的方式。定性描述可以采用评语的形式，更多地关注学生已经掌握了什么，获得了哪些进步，具备了什么能力。使评价结果有利于树立学生学习的自信心，提高学生学习的兴趣，促进学生的发展。
●“成长记录”在实践过程中存在的典型问题和矛盾
成长记录评价在国外教育中已有十多年的历史，在我国多个地区如上海、深圳、重庆等也早在课改前就已推行起成长记录的评价体制，但是就整体而言，“成长记录”仍是一个新生的事物，陌生的概念，广大师生和教研人员对其了解也只停留于表面的认识，于是具体操作出现许多问题和矛盾，其中最为突出的问题是：把成长记录袋仅当作是学生的德育档案袋，忽略了成长记录在各具体学科领域中的应用。
学生的德育发展自然是成长过程中重要的一部分，而学生德育档案信息的处理也比较适合成长记录的要求，且有发展学生德育档案袋的基础，成长记录袋在德育方面的可操作性就更强，收效也更快更明显，故便产生了成长记录是学生
德育档案的代替品的，或提出将成长记录仅用于德育评价的论调；
相比之下，在无实际操作经验的前提上，成长记录在学科领域中的应用就如一张白纸，需从无画起，缺乏理论的指导，缺乏实践的积累，要建立各学科的成长记录无形增加了老师的教学负担，于是普遍发挥成长记录在教育评价中的功效也就成为了难以实现的一句空话，显得苍白无力。
那究竟这成长记录是否只能是德育档案袋的替代品呢？是否是理论与实践的差距造成了成长记录在学科应用中的空白？这都是有待考究的矛盾和问题所在。接下来，我们就以新课标中课改最为困难的学科——数学为研究的载体，从课改后的数学学习评价出发，看看能否将成长记录应用于学科领域的评价中！
二．新课标下的数学学习评价
在《普通高中数学课程标准（实验）》中，明确提出：“数学学习评价，既要重视学生知识、技能的掌握和能力的提高，又要重视其情感、态度和价值观的变化；既要重视学生学习水平的甄别，又要重视其学习过程中主观能动性的发挥；既要重视定量的认识，又要重视定性的分析；既要重视教育者对学生的评价，又要重视学生的自评、互评。总之，应将评价贯穿数学学习的全过程，既要发挥评价的甄别与选拔功能，更要突出评价的激励与发展功能。”
《标准》中连续出现的几个“既要……又要……”，充分反应了课改迫切要求突破数学学习的传统评价，创建新式评价模式，完善数学教育的评价体系的目标。而新课标下的数学学习评价改变的关键体现如下：
● 注重对学生数学学习过程的评价
对数学学习过程的评价又可由下表具体表现
记录所体现的特点和性质也是相符的。
● 继承“双基”评价的优良传统，实现评价内容和形式的突破
“双基”是指数学的基础知识和基本技能，我国数学教育能为学生打下较为的数学知识和技能的基础，是因为特别重视“双基”的教育，这一点界数学教育界也是闻名的，因此数学学习评价中应继承和发扬这一传统。
但“双基”学习的评价在继承传统的基础上，也应有内容和形式上的改变，把评价的重点放在数学本质和思想方法的理解上，以及有效解决问题的技能上。 ● 重视对整体数学思维能力的评价，逻辑思维能力的中心地位
数学能力是学生数学素养的重要组成部分，也是学生实现自主学习、可持续 发展的关键所在。过去，我国数学教育一直比较注重对学生“运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力”的考察，并将逻辑思维能力的评价放在中心的地位；但现在《标准》中提出应注重整体的数学思维能力，而不仅仅是数学思维的某一方面能力，将数学能力贯穿渗透于学习全过程，其中特别关注以下几方面能力评价：
1．对发现问题和通过抽象概括提出问题能力的评价
2．对有效收集信息和分析问题、解决问题能力的评价
3．对表达与交流能力的评价
● 发展现代数学教育评价的性和多元化
传统的数学教育评价统一、单一的特点在现在教育中凸现弊端，评价的 性和多元化已成为了数学教育评价发展的趋势。其主要体现在：
1．评价主体的多元化
将过去评价主体为老师的单向评价过程为教师评价、学生自评、互评，家长和社会有关人员评价有机结合的多向评价过程；
2．评价方式、方法的多样化
将单一的定量评价方式为定量与定性评价相结合，突出定性评价的功能和特点的多样评价方式；
3．评价标准的性
改变过分注重解题的统一结果，忽略解决问题多思、多方案的评价标准，突破解答过程和结果的性，促进学生开阔思、扩大视野；
4．评价结果呈现的多样化
将过去只以分数呈现评价结果的方式为多形式呈现，如：介绍学生的数 学学习体会；展示学生的小论文、课题研究报告；只公布分数分段统计结果等等。 将成长记录的特征功能和新课标下对数学学习评价的要求作一比较，我们不难发现，两者之间有高度吻合的，如：对学习过程的重视；对评价主体的；对评价内容的丰富；对评价结果的呈现等等，这让我们认识到仅将成长记录用于学生德育发展的说法和做法是片面的，将成长记录应用于学科领域是可行的，用得好，用得合适，必然会产生神奇的功效，在最大层面上促进学生自身的发展和教学的改进。
然而缺乏实践的经验，缺乏参照的模式和标准，要将成长记录在学科教学中真正发挥作用，确实有无法避免的困难和矛盾。但作为教育前线的工作者，此时需要的是创新，积极迎接新的教育给我们带来的挑战。故接下来，本文将继续以数学为载体，作一主题为《我&p>
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说由。
解：（Ⅰ）略
（II）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，
∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0
∵x>0 ∴函数ϕ(x)=g(x)－f(x) = x
半
轴有且只有三个不同的交点。 22－8x+6ln x+m的图象与x轴的正
62x2−8x+62(x−1)(x−3)∵ϕ′(x)=2x−8+==(x>0),
当x∈(0,1)时，ϕ′(x)〉0，ϕ(x)是增函数；当x∈(1,3)时，ϕ′(x)〈0，ϕ(x)是减函数；当x∈(3,+∞)时，ϕ′(x)〉0，ϕ(x)是增函数；当x=1或x=3时，ϕ(x)=0。 1
∴ϕ(x)极大值=ϕ(1)=m－7, ϕ(x)极小值=ϕ(3)=m+6ln 3－15.
∵当x→0时，ϕ(x)→−∞，当x→+∞时，ϕ(x)→+∞
∴要使ϕ(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 +
⎧ϕ(x)极大值=m−7>0, ⎨⎩ϕ(x)极小值=m＋6ln3−15
0,tt
此函数g(t)单调递增，∴y
的取值范围是3,1]，∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[-1，1]上有解Ù13∈3,1]⇔a≥
1或a≤−。 a
2
从的探讨，我们可以看出，在今后的数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践能力。
对于公比为2，首项为1的等比数列，是否存在一个等差数列，其中存在三项，使得这三项也是此等比数列中的项，并且项数也相同？证明你的结论。
解：设等比数列bn，则bn=2n−1，
x−1设等差数列通项对应的函数为y=ax+b，等比数列通项对应的函数y=2，
⎧y=2x−1
x−1x−1x−1由⎨，由2−ax−b=0，设f(x)=2−ax−b，则f(x)=2ln2−a
⎩y=ax+b
当a≤0时，显然f(x)>0，即f(x)>0为单调递增函数，故y=f(x)至多与x轴有一个交点，即方程2x−1−ax−b=0至多有一个根；
当a>0时，若x
1+log2，则f(x)>0； ln2ln2
aa故y=f(x)在(−∞,1+log2为减函数；在(1+log2,+∞)为增函数； ln2ln2
aa因此y=f(x)的图象在(−∞,1+log2在(1+log2上与x轴至多一个交点，,+∞)上ln2ln2
x−1亦至多一个交点，从而y=f(x)在R上与x轴至多有两个交点，即方程2
多有两个根； −ax−b=0至
⎧y=2x−1
综合以上可知，方程组 ⎨至多有两根，即这两个方程表示的函数图象至多有=+yaxb⎩
两个交点。由于指数函数与一次函数图象至多有两个交点。若在等比数列中存在满足条件的三项成等差数列，则必有三点共线，即直线与y=2x−1必有三个交点，这不可能，所以不可能存在符合要求的等差数列。
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浅谈初、高中数学过渡阶段“教”与“学”的转变 惠州市大亚湾澳头中学 何朋辉
高一新生刚从初中进入高中学习，所学的数学知识内容和面临剧变：如“从特殊到一般”、“从具体思维到抽象思维”等的转变，以及在高中全新的学习生活中客观上使学生认识产生障碍。若教师不顾学生认知上的特点，以传统的教师讲、学生听的“”模式进行教学；若学生仍沿用初中简单陈旧的，则易使学生学习成绩产生滑坡，甚至产生恐慌心理。据多年的调查统计数据表明，刚迈进高中的学生数学科成绩下降的比例更甚于其它学科。因此，搞好初、高中数学过渡阶段的“教”与“学”的转变，对于高一新生的学习进步及其身心的健康成长是至关重要的一环。那么在这一过渡的关键时期，教者应如何搞好“教”与“学”两个方面的转变呢？笔者认为：
一、 在“教”的方面，贴近学生，了解学情，转变课堂教学模式。
作为老师应以培养学生良好的学习心态为首任，贴近学生，了解学情。积极帮助学生避免在初中形成的一些思维定势。在高一新生中有一部分学生，往往认为原来初三的数学老师的教学方法是最好的，带着这些思维定势进入高中阶段学习，这些情绪会直接影响学生的学习态度和主动性。因此，它要求教师必须用“心”施教，而不是做传声筒，转变传统的 “——记忆————小结”的模式，采用“创设情境，提出问题——合作讨论，探索新知——概括，纳入系统——推导应用，鼓励创新——归纳小结，反思提高”的新型教学模式。在课堂教学中，以学生为主体，使学生乐学，变“要我学”为“我要学”，充分发挥学生的主观能动性，以学生的自主活动为主要方式，把数学学习主动权交给学生，鼓励每个学生积极参与数学活动，大胆探索，真正体现出数学课堂教学的本质。
二、在“学”的方面，探讨，授之以渔，促成学生数学学习方式的转变。
古人云：“授之以鱼，不如授之以渔。”说的是学生知识固然重要，更为重要的是传授其学习的方法。因此，促使学生从“学会”到“会学”的转变是初中向高中过渡阶段面临的一项十分迫切的工作。
《普通高中数学课程标准》中明确提出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，是高中数学课程追求的基本。”因此，培养学生学会学习，促进高一新生学习方法的转变，也是新课程的关键，笔者认为要转变学生的学习方式，可以从培养学生“阅读”、“质疑”、“探究”、“反思”等几个方面入手。
⑴学会阅读，是培养学生学会学习的基本前提。苏霍姆林斯基说过：“学会学习首先要学会阅读”，数学学习同样需要学会阅读。在初中阶段的数学教学中，有的教师往往是将教材中的内容“掰开了，揉碎了”讲给学生听，对学生的“阅读”却有所忽视，而到高中，教师的“教”的目的是为了“不教”，学生的学习不能再完全依靠教师，因此，培养学生学会学习的基本前提是学会阅读。
数学教科书的每一章节，就是一篇逻辑严谨的说，教师可先提出问题，让学生带着问题去阅读并回答问题。比如在学习“逻辑联接词”这节内容时，可要求学生先阅读，之后，分别请学生来，讨论和总结，学生通过认真阅读，认识了教材中有关的数学术语，理解领会了数学语言。
⑵ 鼓励学生质疑，引导学生提问，是培养学生学会学习的重要途径。“学贵有疑”，培养学生质疑提问的意识，首先要营造一个宽松、、和谐的学习氛
围，其次根据具体的内容，学生通过观察、类比、猜测，提出概括性、置疑性、探究性或猜测性的问题，并鼓励学生大胆去解决。比如，在“集合”一节的教学中，有的学生对“空集”的有关问题提出质疑：为什么要把“不含任何元素的集合叫空集”？此时，若简单的用“这是”来解释，实际上就是一种搪塞，学生是绝对不会满意的；而此时若放手让学生去争论，在争论中给予与提示，学生可能会联想到许多有关问题。例如，本来用幂的定义来看“a 0”、“a-2 ”，它们简直“不是个东西”，但了他们的含义后，指数运算就适用于更大范围，数学理论便更加顺畅、和谐和系统，基于此，空集的有关才能被学生所接受和理解。
⑶ 加强学生的自主探究和合作交流，是培养学生学会学习的关键。学生的学习过程是一个永无止境的探究过程，教学中，既要有教师的讲述和指导，也要有学生的自主探究与合作交流，教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。例如，在讲授“对数函数的运算”这一节时，可设计为探究性问题，搞一次“数学实验”，让学生4人一组，利用计算器，自定M，N的值，自主探索lgM、lgN、lgM+lgN、 lgM－lgN、lgM·lgN、lg(M·N)等之间的关系，然后让学生互相介绍自己的探究历程，交流实验，证明数学猜想，使学生体验了数学发现、创造的历程，发展了创新意识。
⑷引导学生学会积极的反思，是培养学生学会学习的重要法宝。
反思，就是从一个人新的角度，多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考。学习中通过反思，可以沟通知识间的相互联系，从而促进知识的和迁移，产生新的发现。在过渡阶段，引导高一新生学会反思，培养学生的数学反思能力，可以从以下两个方面进行：
①听课反思，没有反思的听课是被动的、肤浅的，反思老师，从中学习思考问题的方法，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解。如对于极坐标系这节课，反思应主要集中在为什么要引入极坐标系、极坐标系与直角坐标系的特点有何不同，以求顺利掌握极坐标系处理问题的方法。
②解题反思，引导学生问题解答后对结论的正确性进行检验或提出凝问，是否还有其它解法或更佳解法，能否对问题的题设或结论进行变式，能否把当前命题推广到一般情况，等等。
在初、高中数学过渡阶段的“教”与“学”中的转变中，它们既是相互联系，又是相互促进的两个方面，教师既应正视教法的转变,更要了解学情及正视指导与点拔，使刚跨入高中学习的学生们迅速地适应好高中数学的学习，确保新课程的顺利进行。
2007年9月8日
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探讨数学课堂中实施探究式教
广东博罗中学 袁丽英
摘要：探究式教作为一种教学方法，它最本质的特征是强调探究过程而不是获取现成的知识，学生的主要任务不是简单地接受或记住现成的知识，而是参与知识的发现过程，提高自主获取知识的能力；教师的主要任务也不是向学生
传授现成的知识，而是为学生发现知识提高能力创造条件和提供帮助。与传统教学中的式教学相比，两者有一致性，但是式教学侧重于教师，问题探究式教学侧重于学生。因此，问题探究式教学是一种以教师为主导，学生为主体的教学方法。
关键词：探究 主动 思维品质 能力
课堂教学不是单纯的传授知识，而是在传授知识的同时培养学生的能力、发展学生的智力，引导学生全面发展。探究性学习是学生在教师的引导下，用已有的知识和方法充分运用观察、类比、猜想、归纳、分析和推理等思维工具，主动探索新知，学生在探索过程中，发展观察力、推理能力和直觉思维能力，培养学生的性和思维性。
在几年的数学教学中，就课堂教学的方法方面有了一些有益的尝试，下面谈谈我在教学中的几点做法：
一、创设情境，激趣促思，提高学生学习的积极性
以创设情境为主线，根据教材的特点、教学的方法和学生的具体学情，把学生引入一种与问题有关的情境中，让学生通过观察，不断积累丰富的感性认识，并让学生在实践感受中逐步认知，发展，乃至创造，以提高学生的数学素质。在数学课堂教学中情境教学的运用，可以达到提高学生的数学素质的目的。教育学家常说：没有丝毫兴趣的强制学习，将会学生探求真理的。兴趣是学习的重要动力，也是最好的老师。在实践中，我经常巧妙地创设情境，引导学生从害怕数学到爱学数学，提高学生学习数学的兴趣，取得了事半功倍的效果。如常常用实际问题或设置悬念导入新课来激发学生的求知欲；或者在教学过程中为研究需要而临时产生一些尝试性的研究活动，以及在教学过程中，对学生提出意想不到的观点或方案进行现场探究等。显然，课堂教学中教师必须从学生的学习兴趣出发，才能创设好问题情境。
案例1：如在学习《排列组合》知识时，教师可以问学生是否爱看足球？是否知道甲A联赛的比赛规则？是否知道在甲A联赛中，申花队共踢几场？这样一问，肯定会激发学生的思维，让学生自觉地参与到学习活动中来。
案例2在等比数列一节的教学中，可创设如下有趣的问题情景引入等比数列的概念：
1)阿基里斯（希腊里的善跑英雄）和兔子赛跑，兔子在前方1里处，阿基里斯的速度是兔子的10倍，当他追到1里处时，兔子前进了1/10，当他追到1/10里，兔子前进了1/100里；当他追到1/100里时，兔子前进了1/1000里，------
分别写出相同的各段时间里阿基里斯和兔子各自所行的程；
阿基里斯能否追上兔子？
2) 在我国春秋战国时期的《庄子.天下》中有这样一段话:“一尺之棰,日取其半,不竭。” （意思是说一尺长的一根,每天截下它的一半,可以一天天地截下去,永远都有剩余的量。）试问：棰子剩下的长度y与所截x之间的函数关系式是怎样的？
G·波利亚说过：“专心备课的老师能够拿出一个有意义但不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道窗户把学生引入一个完整的理论领域。”课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有参与意识。加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人，是现代数学教学的趋势。教师在教学过程中，针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确的问题情景。让学生通过情景自主积极地参与到探索过程中来，使思维的广阔性得到不断发展。新课程中的“想一想”是优秀情景载体，能利用它们切实有效的培养学生思维的广阔性。
二、点拨精巧，引伸探究，培养学生学习的创造性
课堂上的灵活点拨是一门艺术，如果将课堂教学的全过程比作“画龙”,那么教师根据教学内容精巧点拨就是“点睛”了，课堂上的适度点拨，能促使学生更好的理解、掌握知识，进行探究性的学习。
案例3：已知a、b、c是三角形三边，求证：abc++≥3 b+c−aa+c−ba+b−c学生初看题目，不知所措，教师首先可以点拨：不等式左端为3个分母是多项式的分式之和，用熟悉的不等式证明方法很难证明出来，应该设法将此不等式进行转换。这时可能学生会积极的进行思考如何进行转换，当学生还不能找到思时，再加以点拨，从“a、b、c是三角形三边”以及(c+b-a) (a+c-b) (b+a-c)入手，联想到三角形及其内切圆的有关知识，这时学生可能已经画出图形，并设圆的三边切线长为：x 、y、z，则有：2x= c+b-a 2y= a+c-b 2z= b+a-c这时解题思
在学生脑海中已经形成。在这里构造三角形，将会引起学生的思考风暴，太妙了！从而逐步培养学生学习的创造性。
三、加强针对性训练，提高数学能力
茫茫题海，只埋头做题是不行的，做题是一种训练，是训练同学们应用数学只是去分析问题、解决问题的能力，因此关键是思考总结。演练不在于多而在于精，要做到“一题多思，一题多得”不断的磨练自己的数学思维，通过演题把知识串在一起，使自己的数学知识系统化、网络化，这样学习起来就非常得心应手。
案例4：求函数y=x2−2x−3的值域
分析：这是一道简单得让人不屑一顾的题目，只需根据二次函数图像或配方可以得到函数的值域。
变式1 求函数y=x2−2x−3(x≥0)的值域
变式2
求函数y=x+
变式3 求函数y=x4+6x2+7(−1≤x≤2)的值域
变式4 sin2x−2cosx+a>0对x∈[0,恒成立，求a的范围 2
变式5
求函数y=x+的值域
一定数量的重复是必不可少的，使其要掌握某种知识形成技能。变式π教学是对教学中的和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以问题的本质，不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能够学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情 ,启迪学生的思维，开拓解题思。
案例5：
（一题多解）求函数y=a>0)的值域
（1）三角换元，因为定义域x∈[−a,a]，可设x=asinβ,β∈[−ππ,或者22
x=acosβ,β∈[0,π]
（2）式子两边平方得
y2=2a+y>0)再由定义域x∈[−a,a]可得
值域
uuu
r
uuur（3）向量法 设OA=(1,1)和OB= 则y=•=COS∠AOB ∠AOB∈[0, 4
（4） 函数定义域x∈[−a,a]，是偶函数则只须证明其在[0,a]的单调性即可。 一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。在课堂教学中探究一题多解，可以拓宽思，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。可以激发学生去发现和去创造的强烈，加深对所学知识的深刻理解，训练对知识的娴熟运用，锻炼思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展的创造性思维。
四、充分运用信息技术促进学生的自主学习
布鲁纳有一句名言，任何知识都能够以合适的方式教给任何年龄的学生。这里，合适的方式是关键。而计算机正好提供了这种可能。面向21世纪，在课程建设过程中，在充分考虑社会进步、学科发展的基础上，建立一个“以学习者为中心”的课程体系，让学生充分利用现有的技术，从所熟悉的事实现象出发去观察、探索、发现规律，是课程设计者所面临的重要问题。
案例6：函数y=Asin(ωx+ϕ)的图像是学生接受的一个难点，在教学中通过一定的编译程序，在计算机屏幕上展现出由y=sinx的图像经相位、周期、振幅等变换得到y=Asin(ωx+ϕ)图像的动态过程，同时还可以针对学生的认识误区，通过画面图像的闪烁和不同色彩，清晰看到改变相位、周期、振幅的变换顺序所带来图形的变化。
图2π
案例7：在讲二面角的定义时（如图2），当拖
动点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改
图4
图
3
变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象
，更可以力；在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图3）
让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方决问题的能力。
现代教育技术下，运用多技术进行的教学实验，具有动画功能、闪烁功能、彩色功能，按照事安排好的组织形式进行操作实验，使学生通过实验构建、数学概念，探求数学规律。数学实验改变学生单一的学习方式，使学生在自主探索、合作交流中学习，促进了学生学习方法的改变。
总之，在数学探究式教学中，注重让学生学会自行获得数学知识的方法、学习主动参与数学实践的本领、学生始终处于一种积极参与的状态中，所以学生的各方面能力均得到了充分的发展。在探究过程中学生的勇于探索、互相合作的得到发扬，从中也体验了成功。然而却对数学教师提出更高的要求，这需要教师不断学习，不断思考，为此付出更多的努力！
参考文献：
1.马斌，《创设问题情景 贯彻新课程》高中数学教与学2007.7
2.罗增儒，《中学数学课例分析》陕西师范大学出版社
2002.5
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处理排列与组合中有同类元素的“公平法”
惠州市第一中学 媚
内容摘要：排列组合问题和日常生活联系紧密且趣味性强，因而受到同学们的喜爱，但在排列组合的学习过程中学生普遍存在“力不从心”的现象，解题常常出错。本文介绍处理排列与组合中有相同元素的一种“公平法” 容易避免由于思维不周而引起的重复或遗漏计算。
关健词：排列与组合 相同元素 公平法
解排列组合问题时，需首先弄清是排列问题还是组合问题，还是排列与组合的综合问题，然后选择正确的方法，如常见的特殊元素优先法、插空法、法、档板法、间接法等等，只要分析得当，往往取得甚佳的效果。在处理排列组合有相同元素的问题中，本人还发现一个“公平法”，如果遵循“公平”这一原则，容易避免由于思维不周而引起的重复或遗漏计算，下面拟作一些介绍：
一、时间公平，即相同元素不分先后，同一时间进行排列组合。
例1：身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，身穿蓝颜色衣服的有1人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，问：不同的排法共有多少种？
分析：将身穿红、黄两种颜色的人同一时间按排好：
222第一类：将身穿红、黄两种颜色的隔排开，共有A2A2A2种排法，
12221再将身穿蓝颜色的人插空，有C5种排法，因此，共有A2=40（种）。 A2A2C5
第二类：将身穿红、黄两种颜色的人一组相邻，而另一组相间，共有222A2A2A2种排法，再将身穿蓝色的人插入最中间的，有一种排法，因此，
222共有A2。 A2A2=8（种）
2221222由分类计数原理，共有A2+A2A2A2C5A2A2=48（种）
二、机会公平，即将相同元素看成相异元素进行排列组合，再除去相同元素重复排列的情况。
例2：雅典奥运会的第三天生8枚金牌，分别为中国4枚，美
国2枚，日本、希腊各一枚，在奏国歌的先后顺序中，奏希腊国歌的前后都是中国国歌，美国国歌不连在一起奏，问：奏国歌的不同顺序有多少种？
分析：不妨令奏四次相同的中国国歌记为相异的元素a1,a2,a3,a4,奏
两次相同的美国国歌记为相异元素b1,b2，奏一次希腊国歌记为元素c，奏一次日本国歌记为元素d。
第一步：先从a1,a2,a3,a4选择2个元素与元素c，再与a1,a2,a3,a4
23中剩余的2个元素排列，共有A4； A3＝72（种）
1第二步：将元素d插空，共有A4＝4（种）；
第三步：将元素b1,b2插空，共有A52＝20（种）；
42第四步：而元素a1,a2,a3,a4全排列与元素b1,b2全排列，共有A4A2＝
48（种）； 因此，奏国歌不同的排序有2312A4A3A4A5=120（种）。 42A4A2
三、构建公平，即将相异元素构建成相同元素进行排列组合。
例3：如图，天花板挂着三串小玻璃球，第一串挂着4个小球，第二串挂着3个小球，第三串着5个小球。射击规则为：下面小球被击中后方可射击的小球，若A球恰好在第五次射击中被击中，B球恰好在第六次射击中被击中，则这12个小球全部被击中的情形有多少种？
分析：第一步：将A、B球前面的四个球看成被击中的
概率是平等的，即有A44种排法,然而2号球必在1号球之后
4A4才能被击中，因此，A、B前四球被击有2＝12（种）； A2
6种第二步：将A、B球后面的六个球看成被击中的概率是平等的，即有A6
排法，然而4号球必在3号球之后才能被击中，6号球在5号球之后才能被
6A6击中，8号球在7号球之后才能被击中，因此A、B后六球被击有23(A2)
＝90（种）；
6A44A6所以，由分步计数原理，12个球全部被击有2=1080（种）。
23A2(A2)
总之在处理排列组合中有相同元素的问题中，要体现出公平的原则，对
相同元素不搞“特区”，一视同仁，这将有效地避免重复或遗漏的计算，从而提高解题的正确率。
参考文献:
1. 王向群.例说排列组合问题常见处理方法.数学教学通讯2004.1
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几类抽象函数的原型及其应用
广东省博罗县博罗中学 罗仕平
摘要：抽象函数是中学数学函数部分的难点，学生难以理解，难以接受；教师对教材也难以处理，对何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序。本文从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、观察、猜想出它的函数原型，即找到特征函数，从而获得解题思，并由此归纳出几类抽象函数的题型及解法加以应用。
关键词：抽象函数，特征函数，赋值法，差比法，商比法。
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点。因为抽象，学生难以理解，难以接受；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序。其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、观察、猜想出它可能为某种基本函数，即找到特征函数，即可觅得解题思，顺利求解。本文就上述问题作一些探讨。
首先，要掌握一些抽象函数的特征函数，以利于我们寻找到解题思或检验结果的正确性。常见的抽象函数有如下几种：
⒈f(x±y)=f(x)±f(y)；特征函数为正比例函数：f(x)=kx(k≠0)； f(x±y)=f(x)±f(y)+b；特征函数为一次函数：f(x)=kx+m(k≠0)； ⒉f(x+y)=f(x)⋅f(y)；f(x−y)=
f(x)=ax(a>0且a≠1； ）
x⒊f(x⋅y)=f(x)+f(y)；f()=f(x)−f(y)，特征函数为对数函数：y
f(x)特征函数为指数函数：f(y)
f(x)=logax(a>0且a≠1）；
xf(x)⒋f(x⋅y)=f(x)⋅f(y)；f(=，特征函数为幂函数：f(x)=xm； yf(y)
⒌f(x+y)=f(x)+f(y)1−f(x)⋅f(y)，f(x+y)=；特征函数为正切函数f(x)+f(y)1−f(x)⋅f(y)
f(x)=tanx和余切函数f(x)=cotx。
对于抽象函数有关的题型，主要有以下几种：一、求某一特定的函数值（一般用赋值法求解），二、证明某一个恒等式（一般用赋值法及对函数性质进行变形可证），三、证明或者判断函数的单调性（一般都要用单调性的定义进行证明或者判断，对一次型抽象函数f(x±y)=f(x)±f(y)，f(x±y)=f(x)±f(y)+b及对数型抽象函数f(x⋅y)=f(x)+f(y)常用差比法；对指数型抽象函数
，四、解f(x+y)=f(x)⋅f(y)及幂型抽象函数f(x⋅y)=f(x)⋅f(y)常用商比法）
抽象不等式（一般是将不等式的两边化成两个函数值的大小关系，利用函数的单调性脱掉对应f，由函数值的大小成自变量的大小关系，即化成普通不等式来求解）。
下面通过几个例子来加以说明：
例1：设函数f(x)的定义域为R+，且满足条件f(4)=1，对于任意的x1，x2∈R+，有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，
（1） 求f(1)的值； x（2） 证明：f(=f(x)−f(y)； y
（3） 当x>1时，f(x)>0，判断函数f(x)在定义域内的单调性；
（4） 如果f(3x+1)+f(2x−6)≤3，求x的取值范围。
分析：此题，我们可以发现它的特征函数为y=log4x，而且可以肯定f(1)=0，
15]，作为客观题，可说函数f(x)在定义域内为单调增函数，不等式的解集为(3，
是相当简单，可是作为主观题，我们得有详细的解题过程，解题思如下：
对于（1）题，只要用赋值法，令x1=x2=1就可以了，
对于（2）题，要证明恒等式，只需将所要证明的式子略加变形，即只需转x化为证明f()+f(y)=f(x)即可， y
对于（3）题，对此类抽象函数的单调性证明，可利用差比法。一般情况下可以利用前面小题的结论作为已知条件来证明。
对于（4）题，解答抽象函数不等式问题，关键是利用函数的单调性脱掉对应，化抽象不等式为普通不等式来求解。
解：（1）令x1=x2=1代入已知条件得：f(1)=f(1)+f(1)， 解得：f(1)=0。 （2）Qf(x)=f(⋅y)=f(+f(y)，∴f(=f(x)−f(y)。 yyy
（3）假设0
⎨⎨y=7y−1=x+1⎩⎩
答：驴驮5个包，骒驮7个包。
2、进行题教学
“数学题”是一种特殊的问题，强调它并不是一个纯数学范畴的概念，而是一个教育范畴的概念。数学题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题[6]。
题涉及的知识应是学生已具备的，问题情景应是学生比较熟悉的和关心的，解题策略应是学生有希望掌握的，从而有利于激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。而所给的问题要具有给学生以较强刺激的因素和形式，以形成强烈的认识冲突，并诱发强烈的求知欲。可使学生通过问题的解决，体验到数学探索与发现的乐趣，感受到数学的魅力，领数学的真谛，从而使他们在形成正确数学观的同时，产生正确、稳定和强烈的学习源动力。
例5：如图4-1，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，根据上述条件，结合图形直接写出你的结论，并加以证明。
一展示出这个问题，学生就表现出极大的兴趣。教师组织讨论之后，学生纷纷得出以下结论：
∠1=∠B,∠2=∠A;
△ACB∽△CBD，△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD；
CD2=AD⋅BD,BC2=BD⋅AB,AC2=AD⋅AB；
AB⋅CD=BC⋅AC；
AB2=AC2+BC2;
CD=BC•AC
AC+BC22
……
这时，教师就应抓住时机，将学生的讨论作适当的集中，如按角的关系、边
的关系、三角形的关系，将结论进行归类。这样就自然将分类思想渗透到教学中，并有助于学生形成关于直角三角形知识的良好认知结构，同时也使学生对数学知识的内在联系、内在规律有了真切的认识。
五、让数学走入生活，让生活走进数学
生活离不开数学，数学来源于生活。注重“培养学生初步的应用意识和解决问题的能力”，是标准[8]的要点之一。培养学生初步的应用意识和解决问题的能力就是要让学生参与一定的含有数学问题的实践活动，在解决实际问题的探索中应用数学。
标准[7]在“学段教学”中指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，……”。 例6：某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在矩形中画出你设计的方案(考题)
在教学中,上题立足于学生观察能力、归纳能力、创新能力的考察，思辩、演绎、实践中体会数学对称美、推理美，积极的促进函数观的建立。不同的视角、不同的探索途径，汇聚了各具特色的不同解法，这正是源于对问题背景的创设与挖掘，它为学生才智的发挥和创新提供了宽松的氛围和机会。
课程标准指出：数学教育要面向全体学生实现；人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展[1]。作为数学学习的组织者、引导者和合作者，教师在教学中应积极营造、快乐的学习氛围，创设问题情境，让学生通过动手操作、自主探索、实践应用等主体活动去参与数学、亲近数学、体验数学、“再创造”数学和应用数学，真正成为数学学习的主人！ 参考文献：
[1] 刘兼、孙晓天主编.数学课程标准解读（实验稿）[M] .师范大学出版社, 2002年5月第一版.
[2] 钱金铎著.谈新课标下数学教学应处理好的几个关系[M] .东北师大出版社，2003年.
[3] 孔企平著.数学教学过程中的学生参与[M] .华东师范大学出版社, 2003年5月第一版.
[4] 张明生,关文信著.新课程观念与初中数学课堂教学实施[M].首都师范大学出版社,2003
年5月第一版.
[5] 周大明主编.新课程教学资源·数学教学案例（7年级）[M] .湖南师范大学出版社,2004
年1月第一版.
[6] 戴再平等著.题——数学教学的新模式[M].上海教育出版,2004年5月第
版,P68—70.
[7] 数学课程标准[M].师范大学出版社,2001年7月第一版.
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函数定义域与思维品质
惠州一中 朱映辉
思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、 函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：
S=x(50−x)
故函数关系式为：S=x(50−x)．
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0
0)在R上适用，而在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：
⑴ 当−bf(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
⑵ 当−b>q时，2ay=f(x)在[p,q]上单调递减函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
⑶ 当p≤−b≤q时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是： 2a
4ac−b2b=f(−=， 2a4a f(x)min
f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。 故本题还要继续做下去：
∵ −2≤1≤5
f(5)=52−2×5−3=12
∴ f(−2)=(−2)2−2×(−2)−3=−3
f(x)max=max{f(−2),f(5)}=f(5)= ∴ 12
∴ 函数y=x2−2x−3在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是12． 这个例子说明，在函数定义域受到时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、 函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数y=4x−5+2x−3的值域．
错解：令t=2x−3,则2x=t2+3
177 ∴ y=2(t2+3)−5+t=2t2+t+1=2(t+)2+≥ 488
7 故所求的函数值域是[,+∞)． 8
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数， 所以当t=0时，ymin=1．
故所求的函数值域是[1, +∞）．
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维性。
四、 函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间．
解：先求定义域：
∵ x2+2x>0 ∴x>0或x
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